Przeskocz nawigację.

Równania - demo

Dowolny cykl $\left( a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\right) \in S_{n}$ rozkłada się na iloczyn transpozycji według wzoru:
$$
\left( a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\right) =\left( a_{1},a_{k}\right) \ldots
\left( a_{1},a_{3}\right) \left( a_{1},a_{2}\right) .
$$

1. (307) Daną permutację $\sigma \in S_{8}$ przedstawić w postaci iloczynu transpozycji i sprawdzić, czy permutacja $\sigma $ jest parzysta czy nieparzysta.
(a) $ \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 2 & 7 & 5 & 1 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix}$
(b) $ \sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
1 & 7 & 4 & 2 & 8 & 5 & 3 & 6%
\end{pmatrix}$.

2. (315) Wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy $S_{3}$. Które z nich są dzielnikami normalnymi grupy $S_{3}$.

3. (302) Sprawdzić, że jeśli $\sigma $ jest cyklem długości $k$, to $rz\sigma =k$.

4. (303) Udowodnić, że jeśli permutacja $\sigma $ jest iloczynem $m$ cykli rozłącznych o długościach $k_{1},\ldots ,k_{m}$, to $rz\sigma =NWW\left( k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}\right)$.

5. (309) Udowodnić, że jeśli permutacja $\sigma $ jest iloczynem $m$ cykli o długościach $k_{1},\ldots ,k_{m}$, to permutacja $\sigma $ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $m+k_{1}+\ldots +k_{m}$ jest parzysta.

6. (252) Udowodnić, że każda grupa cykliczna jest abelowa.

7. (269) Udowodnić, że każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest cykliczna.

Liczbę (lub ogólniej moc zbioru) warstw lewostronnych grupy $G$ względem podgrupy $H$ nazywamy indeksem podgrupy $H$ i oznaczamy przez $\left( G:H\right)$. Liczby warstw lewostronnych i prawostronnych względem danej podgrupy są równe.

8. (144) Udowodnić, że jeśli podgrupa $H$ grupy $G$ spełnia warunek $\left( G:H\right) =2$, to $H$ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$.

9. Niech $G$ będzie dowolną grupą. Wykazać, że $\left\{e\right\} $ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$ oraz że grupy $%G/\left\{ e\right\} $ i $G$ są izomorficzne.

10. Wykazać, że grupa $S_{3}$ jest rozwiązalna.

11. Wykazać, że $V_{4}=\left\{id,\left( 1,2\right) \left(3,4\right) ,\left( 1,3\right) \left( 2,4\right) ,\left( 1,4\right) \left(2,3\right) \right\}$ jest dzielnikiem normalnym grupy alternującej $%A_{4}$.

12. Wykazać, że grupa $S_{4}$ jest rozwiązalna.